viernes, 19 de noviembre de 2010

ECUACIONES DE 2o GRADO COMPLETAS (METODO DE FACTORIZACION)

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS
DE LA FORMA X² +BX +C =0
a) Por factorización:
x² +7x = -10 se puede escribir como: x2 +7x + 10 = 0  para que quede de la forma
X² +BX +C =0
Paso 1.- sacamos la raíz cuadrada al término cuadrático x² (recuerda que raíz significa solución y cuadrada del área de un cuadrado por lo tanto si A = x² entonces el lado será L=x)
Y este resultado se pone como primer término en cada binomio
( x       )  (x       ) = 0
 Paso dos .- Buscamos dos números que cumplan la doble condición que sumados den el término lineal ósea 7 y multiplicados den el término independiente ósea 10
Tales números son: 5 y 2,
(5)(2) = 10
5+2 = 7
 por lo tanto (x+2)(x+5) = 0
PASO TRES.- IGUALAMOS CADA PARENTESIS A CERO Y DESPEJAMOS LA “X”  PARA OBTENER LAS SOLUCIONES X1 Y X2

X +2 = 0
X= 0 – 2      EL DOS PASO RESTANDO POR QUE ESTABA SUMANDO
X=-2
X1 = -2

AHORA DETERMINAMOS X2
X +5=0
X = 0 -5
X=-5
X2=-5

Si quisieras comprobar solo sustituye los valores en la ecuación original
x² +7x = -10

con x1=-2 en lugar de la x pones el -2 de la siguiente forma

(-2)²+7(-2)=-10
4 – 14 = -10
-10 = -10

Para x2=-5 sustituyes nuevamente en la ecuación original
(-5)²+7(-5)=-10
25-35 =-10
-10=-10           como la igualdad se cumplió en ambos resultados quiere desir que las soluciones son correctas.



EJEMPLO 2:
+6X -16 = 0

PASO 1 .- SACAMOS RAIZ CUADRADA A X²

(X       ) (X          )= 0

PASO 2.- BUSCAMOS DOS NUMEROS QUE MULTIPLICADOS DEN -16 Y SUMADOS O RESTADOS DEN +6

(8)(-2) =-16
8-2 = 6
Completamos los paréntesis
(x + 8)(x – 2)=0

Ahora igualamos cada paréntesis a 0 y despejamos x

Para obtener x1

X + 8 =0
X =0 – 8
X=-8
X1= -8

Para obtener x2
X – 2 = 0
X = 0 +2
X = 2
X2=2

Ahora te invito a que compruebes estos resultados x1=– 8 y x2=2    sustituyendo en la ecuación original

Gracias por tus comentarios




jueves, 18 de noviembre de 2010

ECUACIONES DE 2o GRADO INCOMPLETAS (NO HAY TERMINO INDEPENDIENTE)

Ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma . donde no se anula a
Si observamos los coeficientes
b y c, las podemos clasificar en incompletas si se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.
Resolución de una ecuación de segundo grado cuando “C” no existe
la ecuación queda
ax2+bx=0.
Sacando factor cumún se tiene que
x(ax+b)=0 de donde se deduce que x=0 ; ax+b=0 por lo que ax=-b ; x=-b/a. Las soluciones son x1=0 y x2=-b/a.
Conclusión: Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y una de las soluciones es x1=0  y  X2 la encontraras despejando.
Ejemplo con p r o c e d i m i e n t o
Resolver x² = -4x       igualamos a cero la ecuación pasando el -4x como +4x al otro lado del signo de igual por ser la operación contraria
1.      Se escribe la ecuación asi:
      x² +4x= 0      
2.  Se factoriza la ecuación por factor común ( que en este caso es la “x “ya que se repite en ambos términos) y se obtiene
                                                       X (            ) = 0
A x lo tenemos que multiplicar por x para obtener x² y por +4 para obtener 4x y entonses tendremos
                                            X( X +4) = 0
2.      Se iguala cada uno de los factores anteriores a cero, empezando por el factor común “X”
                        X1 = 0
3.- Para obtener X2 igualamos el segundo factor a cero es decir lo que esta dentro del paréntesis y despejamos la x (recuerda que despejar quiere decir dejar solita la “X” )
                         X +4 =0  el cuatro esta sumando pasa del otro lado restando
        X = 0-4 
X = -4                        X2=-4

                                                
3.      Como se puede comprobar que este resultado esta bien, solo susttituye el valor de la “X” en la ecuación original por el -4

x² +4x= 0      

(-4)² +4(-4)= 0    nota que quitamos la x y pusimos el valor encontrado -4

16 -16 = 0

0=0       si te hubiera dado otro resultado por ejemplo 3=0 esto seria erróneo y por tanto tendría que revisar tu procedimiento.
 EJEMPLO 2) RESOLVER    4 x² -20X = 0
FACTORIZANDO POR FACTOR COMUN
X( 4X -20) = 0
X1=0
AHORA OBTENEMOS X2 TOMANDO LOS DATOS DEL PARENTESIS
4X -20 = 0
DEPEJADO "x"
4X = 0+20        YA QUE -20 LO PASAMOS CON SIGNO + POR SER LA OPERECION INVERSA
4X = 20        EL CUATRO ESTA MULTIPLICANDO PASA DIVIDIENDO
X = 20 /4 
X = 5
X2= 5
AHORA COMPROBAMOS EN LA ECUACION INICIAL Y SI DA 0=0 ESTARA CORRECT LA SOLUCION
4 x² -20X = 0        4 (5)² -20(5) = 0        4(25) -100 = 0     100-100 = 0    0= 0

miércoles, 17 de noviembre de 2010

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO SOLUCIONES

ECUACIONES DESEGUNDO GRADO (CUADRATICAS)
SON LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS IGUALADAS A CERO Y QUE LA INCOGNITA” X” TIENE EXPONENTE 2.
EJEMPLOS : X² -3 = O
3X²+4 =0
X² + 2X = 0
5X²-7x = 0
X² +3X -2 = 0
SI TIENEN UN NUMERO O UNA EXPRESION EN LUGAR DEL CERO SOLO PASA ESTE AL OTRO LADO Y YA LA ECUACION =0
EJEMPLO:  2X²-6X=-7    NOTA QUE NO HAY CERO ENTONCES EL -7 LO PASAS DEL OTRO LADO COMO +7 RECUERDA QUE LO CONTRARIO DE LA RESTA ES LA SUMA
2X²-6X+7 =0
AHORA BIEN HAY TRES TIPOS DE ECUACIONES CUADRATICAS QUE SON DE LA FORMA:



ax² + bx + c   =0

                      C   =     Término independiente
       bx  =     Término lineal
    ax² =    Término cuadrático  
     ESTE TIPO DE ECUACIONES SE LLAMAN ECUACIONES DE 2º. GRADO COMPLETAS Y SE RESUELVEN POR FACTORIZACION O POR FORMULA GENERAL.
SIN EMBARGO LAS ECUACIONES QUE TIENEN DOS TERMINOS SON INCOMPLETAS
ax² + bx +   =0
                              
              bx = Término lineal
         ax² =Término cuadrático   ESTE TIPO DE ECUACIONES INCOMPLETAS DE 2º GRADO SE RESUELVEN POR FACTORIZACION DE TERMINO COMUN.
 ASI TAMBIEN TENEMOS LAS ECUACIONES DEL TIPO:

ax² +  c   =0
                               c=  Término independiente
            
     ax² =    Término cuadrático   ESTE TIPO DE ECUACIONES INCOMPLETAS DE SEGUNDO GRADO SE RESUELVEN POR DESPEJE DE LA INCOGNITA “X”.
EMPEZAREMOS A RESOLVER ESTE TIPO DE ECUACIONES EJEMPLO:

X² - 25 = 0   NOTA QUE SOLO TIENE TERMINO CUADRATICO Y TERMINO INDEPENDIENTE POR TANTO PODRAS RESOLVERLA DESPEJANDO “X” ES DECIR DEJANDO SOLA LA x DEL LADO IZQUIERDO.

X² =0 + 25 EL VEINTICINCO LO PASAMOS SUMANDO POR QUE ES LO CONTRARIO DE LA RESTA  
X² = 25  AHORA QUITAMOS EL EXPONENTE DOS PASANDOLO COMO RAIZ CUADRADA
X =√25       RECUERDA QUE RAIZ CUADRADA SIGNIFICA SOLUCION DE UN CUADRADO
                                POR TANTO TENDREMOS DOS SOLUCIONES LADO 5 YA
                                          QUE A=( 5)(5)=25 Y     LADO -5 YA  QUE A=  (-5)(-5) = 25    

 
LA SOLUCIONES A ESTA ECUACIÓN POR TANTO SERA X1=5   X2=-5 

OTRO EJEMPLO:  RESOLVER
  10X² -   90 = 0 DESPEJANDO “X” TENDREMOS
10X² = 0+90  YA QUE LO CONTRARIO DE LA SUMA ES LA RESTA
10X²  =90
x² = 90/10  YA QUE EL 10 ESTABA MULTIPLICANDO A LA “X” Y PASA DIVIDIENDO POR SER LA OPERACIÓN INVERSA  
                  
X² = 9       RESULTADO DE DIVIDIR NOVENTA ENTRE DIEZ
X=   √9                                         EL RESULTADO SERA LADO IGUAL A 3 YA QUE A=(3)(3) =9       
                                                                 Y TAMBIEN -3 YA QUE A=(-3)(-3)=9


LAS SOLUCIONES A ESTA ECUACION SERAN X1=3   Y X2=-3               

domingo, 14 de noviembre de 2010

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

En esta hoja de trabajo te mostraremos la estrategia que usó Rodrigo para resolver
ecuaciones. Muy probablemente tú usaste alguna estrategia como la de Rodrigo cuando
resolviste ecuaciones. Sin embargo, conocer otras formas de resolverlas enriquecerá
lo que ya sabes. Llamaremos tanteo y refinamiento a la estrategia que usó.
A Rodrigo se le pidió que resolviera la ecuación x2 — 9 = 55. La estrategia que empleó
se describe a continuación:
• Empezó por preguntarse, ¿qué significa x 2 ? Su respuesta fue “x 2 representa un
cierto número que se va a elevar al cuadrado”.
• Después, intentó varias veces, dándole valores a x. Primero probó con x = 5, y
obtuvo que x 2 = 5 x 5 = 25. Pero 25 — 9 = 16, y el resultado que quería era 55.
• Entonces intentó con un número más grande, x = 9. Pero x 2 = 81, y 81 — 9 no da 55.
• Finalmente encontró la solución: x = 8. Él estaba seguro de que ésa era la solución
porque 82 = 64 — 9 = 55. Como (–8)2 = (–8) × (–8) = 64, entonces también
x = –8 es solución de esa ecuación.
Al resolver ecuaciones en las anteriores hojas de trabajo, ¿pensaste de manera parecida
a Rodrigo? ¿Entendiste cuál era su estrategia?
Si tu respuesta es afirmativa, resuelve las siguientes ecuaciones usando la misma estrategia.
Resolución de ecuaciones
por tanteo y refinamiento
a) x 2 + 15 = 31                                                             b) x 2 + 31 = 40
c) y 3 — 10 = 54                                                            d) y 4 — 1 = 15
e) p 2 — 4 = 117                                                            f) 67 = p2 + 18

SER COMPETENTE EN MATEMATICAS

SABER MATEMÁTICAS NO SOLO IMPLICA PODER RESOLVER MECÁNICAMENTE UN ALGORITMO O LA SEGUIR LOS PASOS DE UNA ECUACIÓN, SINO ENTENDER QUE ESTOY RESOLVIENDO, ES DECIR PARA QUE MATEMATIZO UN EVENTO Y SI LA SOLUCIÓN DE ESE ALGORITMO TIENE LÓGICA. HOY SE LES PIDE A LOS ALUMNOS QUE RESUELVAN PROBLEMAS DE SU VIDA COTIDIANA SIN EMBARGO TANTO LOS PROBLEMAS QUE VIENEN EN LOS LIBROS DE TEXTO,COMO LOS QUE UTILIZAMOS LOS PROFESORES NO SON ACORDES CON LA REALIDAD DEL ALUMNO.


         PARA ENTENDER COMO RESOLVER UN PROBLEMA PRIMERO DEBO TENER CONOCIMIENTOS PREVIOS DEL TEMA DEL CUAL SE TRATE EL PROBLEMA, ASI TAMBIÉN DEBEMOS SABER LOS ALGORITMOS QUE PODEMOS UTILIZAR PARA DAR UN RESULTADO, ADEMAS DE  ENTENDER QUE ES LO QUE BUSCO.
      
        LA MATEMÁTICA ES EL LENGUAJE UNIVERSAL DE NUESTROS CONOCIMIENTOS POR LO QUE ENTENDERLA DEBE SER TAN FÁCIL COMO APLICARLA.
        ESPERO QUE EN ESTE BLOG PUEDA PLASMAR MI IDEAS DE DAR SOLUCIÓN A COMO ENTENDER MEJOR DE MANERA EFICAZ EL LENGUAJE DE LOS NUMEROS.